What it isDe quoi s'agit-il ?موضوع چیست؟
A first-order analysis computes forces on the undeformed geometry. But once a frame sways by δ, the vertical loads act with an eccentricity and produce extra moments of about V·δ, which increase the sway, which increases the moments… This is the P-Δ (global, frame) effect; its member-level counterpart, due to the bowing of a column between its ends, is the P-δ effect. If the frame is stiff, the extra moments are negligible; if not, they must be included.
Une analyse au premier ordre calcule les efforts sur la géométrie non déformée. Mais dès que l'ossature se déplace de δ, les charges verticales agissent avec une excentricité et créent des moments supplémentaires d'environ V·δ, qui augmentent le déplacement, qui augmente les moments… C'est l'effet P-Δ (global, ossature) ; son équivalent à l'échelle de la barre, dû à la courbure du poteau entre ses extrémités, est l'effet P-δ. Si l'ossature est rigide, les moments supplémentaires sont négligeables ; sinon, il faut les prendre en compte.
تحلیل مرتبه‌ی اول نیروها را روی هندسه‌ی تغییرشکل‌نیافته محاسبه می‌کند. اما وقتی قاب به اندازه‌ی δ جابه‌جا شود، بارهای قائم با خروج از مرکزیت وارد می‌شوند و لنگر اضافی تقریباً برابر V·δ ایجاد می‌کنند؛ این لنگر جابه‌جایی را بیشتر و جابه‌جایی بیشتر لنگر را بزرگ‌تر می‌کند. این اثر P-Δ (کلی، در سطح قاب) است؛ معادل آن در سطح عضو که از انحنای ستون بین دو انتهایش ناشی می‌شود، اثر P-δ نام دارد. اگر قاب سخت باشد، لنگرهای اضافی ناچیزند؛ در غیر این صورت باید منظور شوند.
The key indicator is αcr, the factor by which the design loads would have to be multiplied to reach elastic instability of the whole frame:
L'indicateur clé est αcr, le facteur par lequel il faudrait multiplier les charges de calcul pour atteindre l'instabilité élastique de l'ensemble de l'ossature :
شاخص اصلی αcr است؛ ضریبی که اگر بارهای طراحی در آن ضرب شوند، کل قاب به ناپایداری کشسان می‌رسد:
When it governsQuand est-ce déterminant ?چه زمانی تعیین‌کننده است؟
- Steel frames (EN 1993-1-1, 5.2.1): first-order elastic analysis is enough if αcr ≥ 10 (15 for plastic analysis).
- Sensitive structures: portal frames with slender columns, moment frames without bracing, tall frames with heavy floors, and any building during erection before the bracing is complete.
- Concrete structures use a different framework (EN 1992-1-1, 5.8): second-order effects may be ignored if they are below 10 % of first-order effects, with simplified slenderness criteria for isolated members (5.8.3.1) and for whole buildings (5.8.3.3).
- Ossatures en acier (EN 1993-1-1, 5.2.1) : l'analyse élastique au premier ordre suffit si αcr ≥ 10 (15 en analyse plastique).
- Structures sensibles : portiques à poteaux élancés, ossatures en portiques non contreventées, ossatures hautes à planchers lourds, et tout bâtiment en cours de montage avant achèvement du contreventement.
- Les structures en béton suivent un autre cadre (EN 1992-1-1, 5.8) : on peut négliger le second ordre s'il reste inférieur à 10 % des effets du premier ordre, avec des critères d'élancement simplifiés pour les éléments isolés (5.8.3.1) et pour les bâtiments (5.8.3.3).
- قاب‌های فولادی (EN 1993-1-1، بند 5.2.1): اگر αcr ≥ 10 باشد (و برای تحلیل خمیری ۱۵)، تحلیل کشسان مرتبه‌ی اول کافی است.
- سازه‌های حساس: قاب‌های شیب‌دار با ستون‌های لاغر، قاب‌های خمشی بدون مهاربند، قاب‌های بلند با کف‌های سنگین، و هر ساختمانی در حین نصب پیش از تکمیل مهاربندی.
- سازه‌های بتنی چارچوب متفاوتی دارند (EN 1992-1-1، بند 5.8): اگر اثر مرتبه‌ی دوم کمتر از ده درصد اثر مرتبه‌ی اول باشد قابل صرف‌نظر است و برای اعضای منفرد (بند 5.8.3.1) و کل ساختمان (بند 5.8.3.3) معیارهای لاغری ساده‌شده وجود دارد.
Method step by stepMéthode pas à pasروش گام‌به‌گام
1. Include the sway imperfection1. Introduire le défaut d'aplomb۱. منظورکردن نقص شاقولی
h is the structure height in metres and m the number of columns in a row carrying at least 50 % of the average column load. The imperfection is applied as horizontal forces φ · VEd at each floor. It may be omitted when HEd ≥ 0.15 VEd.
h est la hauteur de la structure en mètres et m le nombre de poteaux d'une file reprenant au moins 50 % de la charge moyenne par poteau. Le défaut est introduit par des forces horizontales φ · VEd à chaque niveau. On peut l'omettre lorsque HEd ≥ 0.15 VEd.
h ارتفاع سازه بر حسب متر و m تعداد ستون‌های یک ردیف است که هر کدام دست‌کم پنجاه درصد بار میانگین ستون‌ها را تحمل می‌کنند. این نقص به‌صورت نیروهای افقی φ · VEd در هر طبقه اعمال می‌شود. اگر HEd ≥ 0.15 VEd باشد، می‌توان از آن صرف‌نظر کرد.
2. Estimate α_cr2. Estimer α_cr۲. برآورد α_cr
Either from an elastic buckling analysis of the frame (eigenvalue), or — for beam-and-column frames and portal frames with shallow roofs, where axial force in the beams is small — storey by storey:
Soit par une analyse de flambement élastique de l'ossature (valeur propre), soit — pour les ossatures poteaux-poutres et les portiques à faible pente, où l'effort normal dans les poutres est faible — étage par étage :
یا با تحلیل کمانش کشسان قاب (مقدار ویژه)، یا برای قاب‌های تیر و ستون و قاب‌های شیب‌دار با شیب کم که نیروی محوری تیرها در آن‌ها کوچک است، به‌صورت طبقه‌به‌طبقه:
HEd and VEd are the total horizontal (including the imperfection forces) and vertical design loads at the bottom of the storey, δH,Ed the first-order inter-storey drift under the horizontal loads, h the storey height. Take the smallest storey value.
HEd et VEd sont les charges de calcul horizontale (y compris les forces d'imperfection) et verticale totales en pied d'étage, δH,Ed le déplacement relatif d'étage au premier ordre sous les charges horizontales, h la hauteur d'étage. Retenir la plus petite valeur parmi les étages.
HEd و VEd کل بارهای طراحی افقی (همراه با نیروهای نقص) و قائم در پای طبقه، δH,Ed جابه‌جایی نسبی مرتبه‌ی اول طبقه تحت بارهای افقی و h ارتفاع طبقه است. کوچک‌ترین مقدار بین طبقات را انتخاب کنید.
3. Choose the analysis3. Choisir l'analyse۳. انتخاب نوع تحلیل
- αcr ≥ 10: first-order analysis with the imperfection forces; member checks with buckling lengths in the non-sway mode.
- 3 ≤ αcr < 10: amplify all sway effects (horizontal loads and imperfection forces) by the factor below, for regular frames (5.2.2(5)B):
- αcr < 3: a full second-order analysis is required (or a stiffer structure).
- αcr ≥ 10 : analyse au premier ordre avec les forces d'imperfection ; vérification des barres avec les longueurs de flambement à nœuds fixes.
- 3 ≤ αcr < 10 : amplifier tous les effets de déplacement latéral (charges horizontales et forces d'imperfection) par le facteur ci-dessous, pour les ossatures régulières (5.2.2(5)B) :
- αcr < 3 : une analyse complète au second ordre est requise (ou une structure plus rigide).
- αcr ≥ 10: تحلیل مرتبه‌ی اول همراه با نیروهای نقص؛ کنترل اعضا با طول کمانش در حالت بدون جابه‌جایی جانبی.
- 3 ≤ αcr < 10: برای قاب‌های منظم، همه‌ی اثرهای جانبی (بارهای افقی و نیروهای نقص) را در ضریب زیر بزرگ کنید (بند 5.2.2(5)B):
- αcr < 3: تحلیل کامل مرتبه‌ی دوم لازم است (یا سازه باید سخت‌تر شود).
Worked exampleExemple résoluمثال حل‌شده
Single-storey unbraced frame, column height h = 5.0 m, four loaded columns per row (m = 4). Total design vertical load VEd = 800 kN, design wind Hw = 27 kN. The first-order analysis gives a sway δH,Ed = 25 mm under all horizontal loads.
Ossature à un niveau non contreventée, hauteur des poteaux h = 5.0 m, quatre poteaux chargés par file (m = 4). Charge verticale de calcul totale VEd = 800 kN, vent de calcul Hw = 27 kN. L'analyse au premier ordre donne un déplacement δH,Ed = 25 mm sous l'ensemble des charges horizontales.
قاب یک‌طبقه‌ی بدون مهاربند با ارتفاع ستون h = 5.0 m و چهار ستون بارگذاری‌شده در هر ردیف (m = 4). کل بار قائم طراحی VEd = 800 kN و باد طراحی Hw = 27 kN. تحلیل مرتبه‌ی اول جابه‌جایی δH,Ed = 25 mm را تحت همه‌ی بارهای افقی می‌دهد.
| Height factorCoefficient de hauteurضریب ارتفاع | αh = 2/√5.0 = 0.894 |
|---|---|
| Column-number factorCoefficient du nombre de poteauxضریب تعداد ستون‌ها | αm = √0.5(1 + 1/4) = 0.791 |
| Sway imperfectionDéfaut d'aplombنقص شاقولی | φ = (1/200)·0.894·0.791 = 0.00354 ≈ 1/283 |
| Can it be omitted? NoPeut-on l'omettre ? Nonآیا قابل صرف‌نظر است؟ خیر | Hw = 27 < 0.15·800 = 120 kN |
| Equivalent horizontal forceForce horizontale équivalenteنیروی افقی معادل | φ VEd = 0.00354·800 = 2.83 kN → HEd = 29.83 kN |
| Critical load factorCoefficient critiqueضریب بار بحرانی | αcr = (29.83/800)·(5000/25) = 7.46 |
| Amplification method appliesMéthode d'amplification applicableروش بزرگ‌نمایی قابل استفاده است | 3 ≤ 7.46 < 10 |
| Amplification factorFacteur d'amplificationضریب بزرگ‌نمایی | kamp = 1/(1 − 1/7.46) = 1.155 |
| Stiffer variant (δH,Ed = 12 mm): first order is enoughVariante plus rigide (δH,Ed = 12 mm) : premier ordre suffisantحالت سخت‌تر (δH,Ed = 12 mm): تحلیل مرتبه‌ی اول کافی است | αcr = (29.83/800)·(5000/12) = 15.5 ≥ 10 ✓ |
With 25 mm of sway, wind and imperfection moments in the columns must be increased by 15.5 %. Halving the drift (stiffer columns, fixed bases or bracing) puts the frame back in the first-order range.
Avec 25 mm de déplacement, les moments dus au vent et à l'imperfection dans les poteaux doivent être majorés de 15,5 %. Diviser le déplacement par deux (poteaux plus raides, pieds encastrés ou contreventement) ramène l'ossature dans le domaine du premier ordre.
با جابه‌جایی ۲۵ میلی‌متری، لنگرهای ناشی از باد و نقص در ستون‌ها باید پانزده و نیم درصد افزایش یابند. نصف‌کردن جابه‌جایی (ستون‌های سخت‌تر، پای ستون گیردار یا مهاربند) قاب را دوباره به محدوده‌ی تحلیل مرتبه‌ی اول بازمی‌گرداند.
Common mistakesErreurs fréquentesاشتباهات رایج
- Computing αcr without the imperfection forces in HEd and δH,Ed, or with the drift from SLS loads.
- Checking only the wind-leading combination: the gravity-leading combination has the largest VEd and often the lowest αcr.
- Using the storey formula for steep portal frames or frames with significant axial force in the rafters.
- Amplifying the moments and then also using sway buckling lengths in the member checks — the sway effect is counted twice.
- Ignoring the flexibility of the foundations: “fixed” bases on soft soil rotate and reduce αcr.
- Calculer αcr sans les forces d'imperfection dans HEd et δH,Ed, ou avec le déplacement sous charges ELS.
- Ne vérifier que la combinaison à vent dominant : la combinaison à charges gravitaires dominantes a le plus grand VEd et souvent le plus petit αcr.
- Utiliser la formule par étage pour des portiques à forte pente ou avec un effort normal important dans les traverses.
- Amplifier les moments puis utiliser aussi des longueurs de flambement à nœuds déplaçables dans les vérifications — l'effet est compté deux fois.
- Ignorer la souplesse des fondations : des pieds « encastrés » sur sol mou tournent et réduisent αcr.
- محاسبه‌ی αcr بدون نیروهای نقص در HEd و δH,Ed، یا با جابه‌جایی ناشی از بارهای بهره‌برداری.
- کنترل فقط ترکیبی که باد در آن غالب است؛ ترکیبی که بار ثقلی غالب است بیشترین VEd و اغلب کمترین αcr را دارد.
- استفاده از رابطه‌ی طبقه‌ای برای قاب‌های با شیب زیاد یا قاب‌هایی که نیروی محوری قابل توجهی در تیرهای شیب‌دار دارند.
- بزرگ‌کردن لنگرها و سپس استفاده از طول کمانش حالت جانبی‌شونده در کنترل اعضا؛ در این صورت اثر جانبی دو بار حساب می‌شود.
- نادیده‌گرفتن انعطاف‌پذیری پی؛ پای ستون «گیردار» روی خاک نرم دوران می‌کند و αcr را کاهش می‌دهد.
Related calculatorCalculateur associéمحاسبه‌گر مرتبط
Global sway effects come from your frame analysis: determine αcr and amplify the sway moments there, then check each column with the column calculator (member buckling and, for concrete columns, member slenderness effects to 5.8).
Les effets globaux de déplacement viennent de votre analyse d'ossature : déterminez-y αcr et amplifiez les moments, puis vérifiez chaque poteau avec le calculateur de poteaux (flambement des barres et, pour les poteaux en béton, effets d'élancement selon 5.8).
اثرهای جانبی کلی از تحلیل قاب به‌دست می‌آیند: αcr را در همان تحلیل تعیین و لنگرهای جانبی را بزرگ کنید، سپس هر ستون را با محاسبه‌گر ستون کنترل کنید (کمانش عضو و برای ستون‌های بتنی، اثر لاغری طبق بند 5.8).