Lateral-torsional buckling of steel beamsDéversement des poutres en acierکمانش جانبی‌پیچشی تیرهای فولادی

What it isDe quoi s'agit-il ?موضوع چیست؟

A beam bent about its strong axis has a compressed flange that behaves like a slender strut. If nothing holds it sideways, it eventually bends out of plane and drags the section into a twist: this is lateral-torsional buckling (LTB). The beam then fails well below its plastic moment.

Une poutre fléchie selon son axe fort possède une semelle comprimée qui se comporte comme une barre élancée. Si rien ne la retient latéralement, elle finit par fléchir hors plan et entraîne la section en torsion : c'est le déversement. La poutre ruine alors bien en dessous de son moment plastique.

در تیری که حول محور قوی خم می‌شود، بال فشاری مانند یک عضو فشاری لاغر رفتار می‌کند. اگر چیزی آن را در جهت جانبی نگه ندارد، سرانجام از صفحه خارج می‌شود و مقطع را به پیچش وامی‌دارد: این پدیده کمانش جانبی‌پیچشی است. در این حالت تیر بسیار پایین‌تر از لنگر خمیری خود گسیخته می‌شود.

W_y is W_pl,y, W_el,y or W_eff,y according to the section class, and χ_LT ≤ 1 is the reduction factor for LTB.

W_y vaut W_pl,y, W_el,y ou W_eff,y selon la classe de la section, et χ_LT ≤ 1 est le coefficient de réduction pour le déversement.

W_y بسته به رده‌ی مقطع برابر W_pl,y، W_el,y یا W_eff,y است و χ_LT ≤ 1 ضریب کاهش برای کمانش جانبی‌پیچشی است.

When it governsQuand est-ce déterminant ?چه زمانی تعیین‌کننده است؟

• Long spans with the compression flange free between supports — typical at the construction stage, before the slab or deck is in place.
• Cantilevers, where the bottom flange is compressed near the support.
• Purlins and rafters under wind uplift: the free bottom flange is in compression.
• Hogging zones of continuous beams, where the bottom flange is compressed.

• Grandes portées dont la semelle comprimée est libre entre appuis — cas typique de la phase de construction, avant la mise en place de la dalle ou du bac.
• Porte-à-faux, où la semelle inférieure est comprimée près de l'appui.
• Pannes et arbalétriers sous soulèvement dû au vent : la semelle inférieure, libre, est comprimée.
• Zones de moment négatif des poutres continues, où la semelle inférieure est comprimée.

• دهانه‌های بلند با بال فشاری آزاد بین تکیه‌گاه‌ها، که در مرحله‌ی اجرا و پیش از اجرای دال یا عرشه رایج است.
• طره‌ها، که در آن‌ها بال پایینی نزدیک تکیه‌گاه فشاری است.
• لاپه‌ها و تیرهای شیب‌دار بام تحت مکش باد: بال پایینی آزاد فشاری می‌شود.
• ناحیه‌های لنگر منفی تیرهای پیوسته، جایی که بال پایینی فشاری است.

LTB can be ignored when the compression flange is continuously restrained (e.g. by a properly connected slab), for closed hollow sections and for bending about the minor axis. It may also be ignored when λ̄_LT ≤ λ̄_LT,0 or M_Ed/M_cr ≤ λ̄_LT,0² (6.3.2.2(4)).

On peut négliger le déversement si la semelle comprimée est maintenue en continu (dalle correctement connectée par exemple), pour les profils creux fermés et en flexion selon l'axe faible. On peut aussi le négliger si λ̄_LT ≤ λ̄_LT,0 ou M_Ed/M_cr ≤ λ̄_LT,0² (6.3.2.2(4)).

اگر بال فشاری به‌طور پیوسته مهار شده باشد (مثلاً با دالی که درست به تیر متصل شده)، برای مقاطع توخالی بسته و برای خمش حول محور ضعیف، می‌توان از کمانش جانبی‌پیچشی صرف‌نظر کرد. همچنین وقتی λ̄_LT ≤ λ̄_LT,0 یا M_Ed/M_cr ≤ λ̄_LT,0² باشد، می‌توان آن را نادیده گرفت (بند 6.3.2.2(4)).

Method step by stepMéthode pas à pasروش گام‌به‌گام

1. Elastic critical moment1. Moment critique élastique۱. لنگر بحرانی کشسان

EN 1993-1-1 does not give M_cr; it comes from elastic stability theory, software or published complementary information. For a doubly symmetric section with fork supports and the load applied at the shear centre:

L'EN 1993-1-1 ne donne pas M_cr ; il provient de la théorie de la stabilité élastique, d'un logiciel ou d'informations complémentaires publiées. Pour une section bisymétrique sur appuis à fourche, avec la charge appliquée au centre de cisaillement :

استاندارد EN 1993-1-1 رابطه‌ای برای M_cr ارائه نمی‌کند؛ این مقدار از نظریه‌ی پایداری کشسان، نرم‌افزار یا اطلاعات تکمیلی منتشرشده به‌دست می‌آید. برای مقطع دومحور متقارن با تکیه‌گاه‌های چنگالی و باری که در مرکز برش وارد می‌شود:

C₁ accounts for the shape of the bending moment diagram: 1.0 for uniform moment (the worst case), about 1.13 for a uniformly distributed load, about 1.35 for a central point load, and up to about 2.7 for a moment varying linearly to zero or reversing sign. A load applied on the top flange is destabilising and lowers M_cr; a load hanging from the bottom flange raises it.

C₁ tient compte de la forme du diagramme des moments : 1,0 pour un moment constant (cas le plus défavorable), environ 1,13 pour une charge uniformément répartie, environ 1,35 pour une charge ponctuelle centrée, et jusqu'à environ 2,7 pour un moment variant linéairement jusqu'à zéro ou changeant de signe. Une charge appliquée sur la semelle supérieure est déstabilisante et réduit M_cr ; une charge suspendue à la semelle inférieure l'augmente.

ضریب C₁ شکل نمودار لنگر خمشی را در نظر می‌گیرد: برای لنگر یکنواخت (بدترین حالت) برابر یک، برای بار گسترده‌ی یکنواخت حدود 1.13، برای بار متمرکز وسط دهانه حدود 1.35 و برای لنگری که به‌طور خطی تا صفر کاهش می‌یابد یا تغییر علامت می‌دهد تا حدود 2.7. باری که روی بال بالایی وارد شود ناپایدارکننده است و M_cr را کاهش می‌دهد؛ باری که از بال پایینی آویزان باشد آن را افزایش می‌دهد.

2. Non-dimensional slenderness2. Élancement réduit۲. لاغری بی‌بعد

3. Buckling curve and reduction factor3. Courbe de flambement et coefficient de réduction۳. منحنی کمانش و ضریب کاهش

General case (6.3.2.2): rolled I-sections use curve a if h/b ≤ 2 and b otherwise; welded I-sections use c or d. The imperfection factors are α_LT = 0.21, 0.34, 0.49 and 0.76 for curves a to d.

Cas général (6.3.2.2) : profilés laminés en I, courbe a si h/b ≤ 2, sinon b ; profils soudés, courbe c ou d. Les facteurs d'imperfection valent α_LT = 0,21, 0,34, 0,49 et 0,76 pour les courbes a à d.

حالت کلی (بند 6.3.2.2): مقاطع نوردشده‌ی I شکل اگر h/b ≤ 2 باشد از منحنی a و در غیر این صورت از منحنی b استفاده می‌کنند؛ مقاطع جوشی منحنی c یا d دارند. ضرایب نقص برای منحنی‌های a تا d به ترتیب α_LT = 0.21، 0.34، 0.49 و 0.76 است.

4. Option for rolled sections4. Variante pour les profilés laminés۴. روش جایگزین برای مقاطع نوردشده

Clause 6.3.2.3 gives a slightly more favourable curve for rolled and equivalent welded sections (recommended λ̄_LT,0 = 0.4, β = 0.75, rolled I-sections on curve b if h/b ≤ 2), and allows χ_LT to be divided by a factor f ≤ 1 that rewards non-uniform moment diagrams. Use whichever method the national annex allows.

L'article 6.3.2.3 donne une courbe un peu plus favorable pour les profilés laminés et soudés équivalents (valeurs recommandées λ̄_LT,0 = 0.4, β = 0.75, profilés laminés en I sur la courbe b si h/b ≤ 2) et permet de diviser χ_LT par un facteur f ≤ 1 qui valorise les diagrammes de moment non uniformes. Utiliser la méthode autorisée par l'annexe nationale.

بند 6.3.2.3 برای مقاطع نوردشده و مقاطع جوشی معادل، منحنی کمی مطلوب‌تری ارائه می‌کند (مقادیر پیشنهادی λ̄_LT,0 = 0.4 و β = 0.75، و منحنی b برای مقاطع نوردشده با h/b ≤ 2) و اجازه می‌دهد χ_LT بر ضریب f ≤ 1 تقسیم شود که به نمودارهای لنگر غیریکنواخت امتیاز می‌دهد. از روشی استفاده کنید که پیوست ملی مجاز می‌داند.

Worked exampleExemple résoluمثال حل‌شده

IPE 300 in S355, simply supported over L = 6.0 m with fork supports and no intermediate lateral restraint; uniformly distributed load applied at the shear centre (C₁ = 1.13). Properties: I_z = 603.8 cm⁴, I_t = 20.12 cm⁴, I_w = 125.9·10³ cm⁶, W_pl,y = 628.4 cm³; E = 210 000 MPa, G = 81 000 MPa. The section is Class 1 in bending.

IPE 300 en S355, sur deux appuis à fourche, portée L = 6.0 m sans maintien latéral intermédiaire ; charge uniformément répartie appliquée au centre de cisaillement (C₁ = 1.13). Caractéristiques : I_z = 603.8 cm⁴, I_t = 20.12 cm⁴, I_w = 125.9·10³ cm⁶, W_pl,y = 628.4 cm³ ; E = 210 000 MPa, G = 81 000 MPa. La section est de classe 1 en flexion.

تیرآهن IPE 300 از فولاد S355 با تکیه‌گاه‌های ساده‌ی چنگالی و دهانه‌ی L = 6.0 m، بدون مهار جانبی میانی؛ بار گسترده‌ی یکنواخت در مرکز برش وارد می‌شود (C₁ = 1.13). مشخصات: I_z = 603.8 cm⁴، I_t = 20.12 cm⁴، I_w = 125.9·10³ cm⁶ و W_pl,y = 628.4 cm³؛ E = 210 000 MPa و G = 81 000 MPa. مقطع در خمش رده‌ی یک است.

Without lateral restraint the beam keeps only about 38–44 % of its plastic moment. Restraining the compression flange at mid-span, or relying on a connected slab in the final state, is usually far cheaper than choosing a heavier section.

Sans maintien latéral, la poutre ne conserve qu'environ 38 à 44 % de son moment plastique. Maintenir la semelle comprimée à mi-portée, ou compter sur une dalle connectée en phase définitive, est généralement bien plus économique que de choisir un profil plus lourd.

بدون مهار جانبی، تیر فقط حدود ۳۸ تا ۴۴ درصد از لنگر خمیری خود را حفظ می‌کند. مهار بال فشاری در وسط دهانه، یا تکیه بر دال متصل در حالت نهایی، معمولاً بسیار ارزان‌تر از انتخاب مقطع سنگین‌تر است.

Common mistakesErreurs fréquentesاشتباهات رایج

• Taking the span between supports as the buckling length when intermediate restraints exist — or, conversely, counting as restraints elements that are not stiff or not connected to the compression flange.
• Using C₁ for a uniform load while the load acts on the top flange — the destabilising effect can reduce M_cr by 20–30 % for slender beams.
• Forgetting the uplift case: a purlin restrained by the sheeting on its top flange is unrestrained on its bottom flange.
• Mixing curves: using the curve of 6.3.2.3 with the formula of 6.3.2.2, or the reverse.
• Using γ_M0 instead of γ_M1 for the buckling resistance.

• Prendre la portée entre appuis comme longueur de déversement alors qu'il existe des maintiens intermédiaires — ou, à l'inverse, compter comme maintiens des éléments peu rigides ou non liés à la semelle comprimée.
• Utiliser le C₁ d'une charge uniforme alors que la charge est appliquée sur la semelle supérieure — l'effet déstabilisant peut réduire M_cr de 20 à 30 % pour les poutres élancées.
• Oublier le cas de soulèvement : une panne maintenue par la couverture sur sa semelle supérieure est libre sur sa semelle inférieure.
• Mélanger les courbes : utiliser la courbe de 6.3.2.3 avec la formule de 6.3.2.2, ou l'inverse.
• Utiliser γ_M0 au lieu de γ_M1 pour la résistance au déversement.

• در نظر گرفتن فاصله‌ی تکیه‌گاه‌ها به‌عنوان طول کمانش با وجود مهارهای میانی، یا برعکس، حساب‌کردن اعضایی به‌عنوان مهار که سختی کافی ندارند یا به بال فشاری متصل نیستند.
• استفاده از C₁ بار یکنواخت در حالی که بار روی بال بالایی وارد می‌شود؛ اثر ناپایدارکننده می‌تواند M_cr تیرهای لاغر را بیست تا سی درصد کاهش دهد.
• فراموش‌کردن حالت مکش باد: لاپه‌ای که بال بالایی آن با پوشش بام مهار شده، در بال پایینی آزاد است.
• مخلوط‌کردن منحنی‌ها: استفاده از منحنی بند 6.3.2.3 با رابطه‌ی بند 6.3.2.2 یا برعکس.
• استفاده از γ_M0 به‌جای γ_M1 برای مقاومت کمانشی.